درس شامل عن الدالة الأسية مع أمثلة وتطبيقات

درس شامل عن الدالة الأسية مع أمثلة وتطبيقات

A comprehensive lesson on the exponential function with examples and applications.

درس شامل: الدالة الأسية (Exponential Function)

الدالة الأسية هي واحدة من أهم الدوال في الرياضيات، وتلعب دورًا حاسمًا في العديد من المجالات العلمية مثل الفيزياء، الأحياء، الهندسة، والاقتصاد. سُميت بهذا الاسم لأن المتغير (عادةً x) يظهر في موقع الأُسّ.

1. تعريف الدالة الأسية

الدالة الأسية هي دالة تُكتب على الصورة العامة:

f(x) = a · bx

حيث:

  • a هو المعامل، وهو عدد حقيقي لا يساوي الصفر.
  • b هو أساس الدالة، وهو عدد حقيقي موجب (b > 0) ولا يساوي الواحد (b ≠ 1).
  • x هو المتغير أو الأس.

الشكل الأبسط والأكثر شيوعًا للدالة الأسية هو:

f(x) = bx

2. الدالة الأسية الطبيعية (The Natural Exponential Function)

هناك حالة خاصة ومهمة جدًا للدالة الأسية عندما يكون الأساس هو العدد e (العدد النيبيري).

f(x) = ex

حيث قيمة e هي عدد غير نسبي يساوي تقريبًا 2.71828. هذه الدالة تظهر بشكل طبيعي في العديد من الظواهر مثل النمو السكاني، الربح المركب المستمر، والتحلل الإشعاعي.

3. خصائص الدالة الأسية (f(x) = bx)

  1. المجال (Domain): مجموعة كل الأعداد الحقيقية. يمكنك وضع أي عدد حقيقي مكان x. المجال = ℝ أو (-∞, +∞).
  2. المدى (Range): مجموعة كل الأعداد الحقيقية الموجبة فقط. ناتج الدالة الأسية دائمًا أكبر من الصفر. المدى = (0, +∞).
  3. نقطة التقاطع مع المحور الصادي (Y-intercept): تمر جميع الدوال الأسية في صورتها الأساسية بالنقطة (0, 1)، لأن أي عدد (غير الصفر) مرفوع للأس صفر يساوي 1 (b0 = 1).
  4. خط التقارب الأفقي (Horizontal Asymptote): المحور السيني (محور x) هو خط تقارب أفقي للدالة. هذا يعني أن منحنى الدالة يقترب من المحور x لكنه لا يلمسه أبدًا.
  5. السلوك (Behavior): يعتمد سلوك الدالة على قيمة الأساس b.
    • حالة النمو الأسي (Exponential Growth): عندما يكون b > 1. تكون الدالة متزايدة. مثال: f(x) = 2x.
    • حالة التضاؤل الأسي (Exponential Decay): عندما يكون 0 < b < 1. تكون الدالة متناقصة. مثال: f(x) = (1/2)x.

4. أمثلة محلولة

مثال 1: حساب قيم الدالة

إذا كانت f(x) = 3x. أوجد قيمة كل من f(2) و f(-2).

الحل:

  • لحساب f(2): نعوض عن x بالعدد 2:
    f(2) = 32 = 3 × 3 = 9
  • لحساب f(-2): نعوض عن x بالعدد -2:
    f(-2) = 3-2 = 1 / 32 = 1/9

مثال 2: حل معادلة أسية بسيطة

حل المعادلة التالية: 2x+1 = 32

الحل:

  1. نحن نعلم أن 32 يمكن كتابتها كقوة للعدد 2: 32 = 25.
  2. نُعيد كتابة المعادلة: 2x+1 = 25.
  3. بما أن الأساسات متساوية، فلا بد أن تكون الأسس متساوية أيضًا: x+1 = 5.
  4. نحل المعادلة الخطية: x = 5 - 1, إذن x = 4.

الحل هو x = 4.

مثال 4: تطبيق من واقع الحياة (الربح المركب)

استثمر شخص مبلغ 5000 دولار في حساب بنكي يمنح ربحًا سنويًا مركبًا قدره 4%. ما هو المبلغ الإجمالي في الحساب بعد 10 سنوات؟

الصيغة المستخدمة: A = P(1+r)t

الحل:

  • المبلغ الأصلي (P) = 5000 دولار.
  • معدل الربح (r) = 4% = 0.04.
  • الزمن (t) = 10 سنوات.

A = 5000 * (1 + 0.04)10

A = 5000 * (1.04)10

A ≈ 5000 * 1.48024

A ≈ 7401.2

الجواب: سيصبح المبلغ في الحساب حوالي 7401.2 دولار بعد 10 سنوات.

خلاصة

  • الدالة الأسية تصف النمو أو التضاؤل المتسارع.
  • صورتها العامة هي f(x) = bx حيث b > 0 و b ≠ 1.
  • إذا كان الأساس b > 1 فهي دالة نمو، وإذا كان 0 < b < 1 فهي دالة تضاؤل.
  • الدالة الأسية الطبيعية f(x) = ex هي أهم أنواع الدوال الأسية وتستخدم في وصف العديد من الظواهر الطبيعية.

© Manajmnt

شارك على :

☷✎

تعليقات

إرسال تعليق
الاشتراك في: تعليقات الرسالة (Atom)